要当捉老鼠的猫
Chaper21 要当捉老鼠的猫
数学老师改卷是一如既往地快，没过两天，周三的时候老师就下发了答题卡。小方他们的数学老师去外地培训了，这次课是一个精神矍铄的小老头来代课，他是小方年段数学出卷组的组长，姓戴，大家人称戴老。
戴老慢悠悠地喝了一口保温杯里的茶，先行云流水地核对了选填题和大题的答案，然后让课代表问大家有哪些题目要讲，收集完题号，又喝了一口茶，便开始庖丁解牛般的讲解起了同学们提到的题目。
先是解题思路，然后是运用的公式、涉及的知识点以及出题的意图。很快选填题便讲完了，他把字迹密密的卷子翻了个面，“这次卷子的三角、数列都没有难度，同学们有需要讲的吗？”
大家静静地看着他，有人摇了摇头。
他笑了笑，然后看着那道猫抓老鼠的概率题，又喝了一口茶，“整张卷子就这题还算有点意思，不过算是怪题，超纲了，高考不会考，但是真的蛮有意思的。”
他大笔一挥在黑板上画了一条数轴，又简笔画了一个老鼠头和一个猫猫头，“本题考查的是概率的计算和应用。”然后他笑了一下，“其实这题题目出的不好，条件不是很严谨，第一小题就基本没有同学做对；第二小题答案有争议，我的想法是答案为1。本题我只分析一下情景，加强一下分类讨论的思路，具体计算我不展开，大家思路跟着我走就行。”
“情景分析，首先，考虑第一个问题:老鼠不动，猫随机走——设猫走n步后抓到老鼠的概率为Pn。由于猫每一步都有二分之一的概率向左或向右走，而老鼠不动，要使得猫抓到老鼠，第一种情况是猫直接向左移动，概率为1/2;除此之外，当猫恰好向左走和向右走的步数相等，并且最后一步迈出的是朝向原点时，达到原点，即抓到老鼠。这一题的具体情况涉及到了高数概率论的马氏链，超纲了。
“接下来，考虑第二个问题:老鼠和猫都随机走。猫和老鼠要相遇，关键是它们之间的“步数差”的绝对值必须为1。然而，与第一个问题不同，这里猫和老鼠的步数是相互独立的。
记猫走n步后和老鼠在同一位置（相遇）的可能性为Qn。
我们可以观察到，对于每一对可能的向左和向右的步数组合(使得步数差为1)，猫和老鼠都有相同的概率走到那里。由于这样的组合数量随着n的增加而增加，并且每一种组合都是等可能的，所以我们可以推断出，当n趋向于无穷大时，Qn将趋向于一个非零值。
实际上，这个值可以通过更复杂的概率论方法来计算，但在高中阶段我们只需要知道它大于0，高考不会考。”
说到这里，戴老喝了一口茶，“具体的我就不展开讲了，考纲没有要求，有兴趣的同学可以报考数学相关的专业，概率论老师会讲的很清楚。”
大家一脸茫然的，好像听懂了，又好像没听懂。
戴老脸上闪着一股柔和的光，“我简单看了一下大家的答案，第一小问，1，1/2的答案挺多，有部分同学的答案是0；第二小问呢，挺多同学给的是空白，也有同学猜1/2的。不过，不太严谨的来说，这个第二小问的答案或许接近1。”
“概率论是一门很奇妙的学问，有的事情，也许看起来希望渺茫，但是哲学有句话怎么说的来着，要发挥自己的‘主观能动性’，大家在一轮复习，二轮复习乃至可能存在的三轮复习的过程中，会不断遇到你们在高一高二时就畏惧的问题，而那在高一高二时可能略过或者考了就过、不会也过，但是孩子们，你们现在是高三的冲锋队了。”
他顿了顿，又喝了一口茶，“以前的难题会是现在的中档题；高考并不会特别困难，从成绩构成来说，有基础，中档和难题，并且基础和中档题居多，不用有畏难情绪。——那么，设置这道题的用意是什么呢？”戴老“嘿嘿”一笑，“出卷组的年轻人倒是很有意思，他们说，你们这些孩子就像在学抓老鼠的小猫一样，那些难题啊就像动或者不动的老鼠，高考出卷题组老师会变着法子让老鼠到处跑，而我们的任务就像老猫一样，要教你们‘见招拆招’——固然有狡猾的老鼠，但也有脚滑的老鼠。蚊子肉也是肉，大象腿也是肉，高考数学学透彻了，其实也就是比比谁能在限定的时间里，把能得到的分数最大化。”
“那句话怎么说来着，‘山不来见我，我自去见山’。小猫儿们，要当勇于抓老鼠的好猫儿，尘埃未定，你们的未来，永远掌握在你们手中。”戴老的语气是和蔼的，而他的脸上是平和的认真和严肃。
不知道是谁带头鼓起了掌，一时间教室里只剩下鼓掌声。老戴做了个“摘帽”的无实物表演，给大家行了个礼，下课铃正好响起——
他像个老绅士一样，气宇轩昂地说了句：“下课！”就慢悠悠，风度翩翩地从讲台上走出教室门外了。
教室里是沙沙的写字声，偶有几个同学去卫生间或者出去呼吸新鲜空气，安静地热闹着。
＊作者有话说：浅浅煮锅鸡汤。选这个题目真是为了蘸醋包饺子了，伤心如我，等了快两天也没等到老师和同学的肯定回复，所以就把大题讲解模糊化了，别当真，纯粹看个乐子，数学是一门很严谨的学科，不要学我这个数学渣渣模糊处理。。阿门
数学老师改卷是一如既往地快，没过两天，周三的时候老师就下发了答题卡。小方他们的数学老师去外地培训了，这次课是一个精神矍铄的小老头来代课，他是小方年段数学出卷组的组长，姓戴，大家人称戴老。
戴老慢悠悠地喝了一口保温杯里的茶，先行云流水地核对了选填题和大题的答案，然后让课代表问大家有哪些题目要讲，收集完题号，又喝了一口茶，便开始庖丁解牛般的讲解起了同学们提到的题目。
先是解题思路，然后是运用的公式、涉及的知识点以及出题的意图。很快选填题便讲完了，他把字迹密密的卷子翻了个面，“这次卷子的三角、数列都没有难度，同学们有需要讲的吗？”
大家静静地看着他，有人摇了摇头。
他笑了笑，然后看着那道猫抓老鼠的概率题，又喝了一口茶，“整张卷子就这题还算有点意思，不过算是怪题，超纲了，高考不会考，但是真的蛮有意思的。”
他大笔一挥在黑板上画了一条数轴，又简笔画了一个老鼠头和一个猫猫头，“本题考查的是概率的计算和应用。”然后他笑了一下，“其实这题题目出的不好，条件不是很严谨，第一小题就基本没有同学做对；第二小题答案有争议，我的想法是答案为1。本题我只分析一下情景，加强一下分类讨论的思路，具体计算我不展开，大家思路跟着我走就行。”
“情景分析，首先，考虑第一个问题:老鼠不动，猫随机走——设猫走n步后抓到老鼠的概率为Pn。由于猫每一步都有二分之一的概率向左或向右走，而老鼠不动，要使得猫抓到老鼠，第一种情况是猫直接向左移动，概率为1/2;除此之外，当猫恰好向左走和向右走的步数相等，并且最后一步迈出的是朝向原点时，达到原点，即抓到老鼠。这一题的具体情况涉及到了高数概率论的马氏链，超纲了。
“接下来，考虑第二个问题:老鼠和猫都随机走。猫和老鼠要相遇，关键是它们之间的“步数差”的绝对值必须为1。然而，与第一个问题不同，这里猫和老鼠的步数是相互独立的。
记猫走n步后和老鼠在同一位置（相遇）的可能性为Qn。
我们可以观察到，对于每一对可能的向左和向右的步数组合(使得步数差为1)，猫和老鼠都有相同的概率走到那里。由于这样的组合数量随着n的增加而增加，并且每一种组合都是等可能的，所以我们可以推断出，当n趋向于无穷大时，Qn将趋向于一个非零值。
实际上，这个值可以通过更复杂的概率论方法来计算，但在高中阶段我们只需要知道它大于0，高考不会考。”
说到这里，戴老喝了一口茶，“具体的我就不展开讲了，考纲没有要求，有兴趣的同学可以报考数学相关的专业，概率论老师会讲的很清楚。”
大家一脸茫然的，好像听懂了，又好像没听懂。
戴老脸上闪着一股柔和的光，“我简单看了一下大家的答案，第一小问，1，1/2的答案挺多，有部分同学的答案是0；第二小问呢，挺多同学给的是空白，也有同学猜1/2的。不过，不太严谨的来说，这个第二小问的答案或许接近1。”
“概率论是一门很奇妙的学问，有的事情，也许看起来希望渺茫，但是哲学有句话怎么说的来着，要发挥自己的‘主观能动性’，大家在一轮复习，二轮复习乃至可能存在的三轮复习的过程中，会不断遇到你们在高一高二时就畏惧的问题，而那在高一高二时可能略过或者考了就过、不会也过，但是孩子们，你们现在是高三的冲锋队了。”
他顿了顿，又喝了一口茶，“以前的难题会是现在的中档题；高考并不会特别困难，从成绩构成来说，有基础，中档和难题，并且基础和中档题居多，不用有畏难情绪。——那么，设置这道题的用意是什么呢？”戴老“嘿嘿”一笑，“出卷组的年轻人倒是很有意思，他们说，你们这些孩子就像在学抓老鼠的小猫一样，那些难题啊就像动或者不动的老鼠，高考出卷题组老师会变着法子让老鼠到处跑，而我们的任务就像老猫一样，要教你们‘见招拆招’——固然有狡猾的老鼠，但也有脚滑的老鼠。蚊子肉也是肉，大象腿也是肉，高考数学学透彻了，其实也就是比比谁能在限定的时间里，把能得到的分数最大化。”
“那句话怎么说来着，‘山不来见我，我自去见山’。小猫儿们，要当勇于抓老鼠的好猫儿，尘埃未定，你们的未来，永远掌握在你们手中。”戴老的语气是和蔼的，而他的脸上是平和的认真和严肃。
不知道是谁带头鼓起了掌，一时间教室里只剩下鼓掌声。老戴做了个“摘帽”的无实物表演，给大家行了个礼，下课铃正好响起——
他像个老绅士一样，气宇轩昂地说了句：“下课！”就慢悠悠，风度翩翩地从讲台上走出教室门外了。
教室里是沙沙的写字声，偶有几个同学去卫生间或者出去呼吸新鲜空气，安静地热闹着。
＊作者有话说：浅浅煮锅鸡汤。选这个题目真是为了蘸醋包饺子了，伤心如我，等了快两天也没等到老师和同学的肯定回复，所以就把大题讲解模糊化了，别当真，纯粹看个乐子，数学是一门很严谨的学科，不要学我这个数学渣渣模糊处理。。阿门